REVISTA DIGITAL DE PROMOCIÓN CULTURAL                     Director: René Avilés Fabila
18 | 09 | 2018
   
02-03-2017 
Algebristas Involuntarios
Autor: José Antonio Quiroz Pineda
Muchas veces, por no decir siempre, parece que lo que se estudia en las clases de matemáticas se pierde en el horizonte de lo práctico; que lo que sea que está plasmado en el pizarrón no tiene nada que ver con lo que hacemos en el día a día. Sin embargo tan sólo con hablar ya estamos haciendo uso de estructuras matemáticas, específicamente de estructuras algebraicas. Eso sí, para verlo claro hay que ensuciarse las manos con un poco de teoría (no muy escabrosa, por supuesto).
Es difícil pensar en un concepto más primitivo dentro del mundo de las matemáticas que el de conjunto, cosa que tiene sentido cuando pensamos (tomándonos antes la libertad (algunos matemáticos dirían bajeza) de reducir la definición de conjunto a “un montón de cosas que tienen alguna característica en común y que son vistas como un todo”) que, por ejemplo, una figura geométrica es en realidad un conjunto de puntos en el espacio o que los números fueron ideados para contar las “cosas” que hay en los conjuntos. No está demás mencionar que a las “cosas” en un conjunto se les conoce formalmente como elementos, que, por otra parte, pueden “amontonarse” en un conjunto más pequeño (subconjunto) señalando una característica que los distinga de los otros elementos en el conjunto original. Algo último a comentar es que si queremos enlistar los elementos de un conjunto hay que tomar en cuenta que no importa el orden en que queramos colocarlos y que cada elemento sólo se enlista una y sólo una vez. Así, el conjunto {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} es el mismo que {Domingo, Martes, Viernes, Sábado, Miércoles, Lunes, Jueves}, que a su vez es el mismo que el conjunto de los días de la semana.
Es aquí cuando debemos pensar como un niño con un juguete nuevo y preguntarnos “¿qué puedo hacer con esto que me acaban de dar?”. Para nuestra fortuna, lo que tenemos en nuestras manos (o en nuestras mentes, mejor dicho) es mucho más interesante que auto a control remoto. Pensemos en un par de conjuntos, los que le lector quiera (tal vez el conjuntos de sus películas favoritas y el conjunto de los libros que leyó el año pasado o el conjunto de los personajes históricos que más admira y el conjunto de los artistas cuyo trabajo es de su agrado) y juguemos a crear nuevos conjuntos. Podemos considerar subconjuntos de cada conjunto, “pasar” elementos de un conjunto a otro para generar nuevos conjuntos que sean más grandes o más pequeños que los originales, o bien, “alocarnos” e imaginar conjuntos cuyos elementos sean subconjuntos de alguno de los dos conjuntos que consideramos al principio, ¿por qué no?. Eso sí, podemos destacar tres conjuntos por su generalidad; estos son el “súper conjunto” que engloba a los elementos de ambos conjuntos (la unión de los conjuntos), el conjunto de los elementos que están en los dos conjuntos (la intercepción de los conjuntos) y el conjunto resultante de quitarle a un conjunto los elementos que comparte con el otro (la diferencia de conjuntos).
Ya en este punto podemos advertir la presencia de estos conceptos en muchas de las conversaciones que sostenemos cotidianamente. Por ejemplo, si hablamos con algún conocido de las canciones que nos gustan, antes que todo pensamos en el conjunto de las canciones que conocemos y ya luego hacemos una selección de elementos de ese conjunto que, en otras palabras, es construir un subconjunto. Si luego la persona con la que conversamos nos comparte las canciones que le gustan (que de la misma forma es un subconjunto) podemos fijarnos en la intersección de los subconjuntos, de la que sería las canciones que disfrutamos ambos.
Ahora bien, nuestro concepto (el de conjunto) aún tiene algo más de jugo que ofrecernos (galones y galones para ser honesto, pero me refiero al mínimo necesario para llegar a nuestro objetivo), y es que teniendo un par de conjuntos podemos hacer más cosas que sólo crear otros conjuntos, cosas como construir “eneadas” o proponer relaciones de un conjunto a otro.
Para no meternos en mayores problemas, a las “eneadas” las definiremos como “el conjunto de todas las formas en que podemos señalar a elementos en un conjunto”. Así, si pensamos en el conjunto de los países que conforman América del Norte, es decir {México, Estados Unidos (EU), Canadá}, podemos señalar a los elementos de muchísimas maneras diferentes (conformando así “eneadas”) tales como (Canadá), (México, EU), (EU, México), (México, México, México, Canadá), (EU, Canadá, EU, Canadá, México, México) o (Canadá, México, México, Canadá). En una “eneada”, como se pudo observar, el orden de los elementos sí importa y las repeticiones están permitidas, de modo que si nos fijamos en un elemento de un conjunto podemos hacer las “eneadas” que queramos, ¿cómo?, pues primero señalando al elemento una vez, luego dos veces, después tres, y así hasta que nos cansemos.
Por otra parte están las relaciones. Para entender lo que son, primero consideremos un par de conjuntos (de nuevo, los que el lector elija); a uno le pondremos el mote de “dominio” y al otro el de “codominio”. Pues bien, lo que sigue es tomar a cada elemento del dominio y “hacerlo amigo” de algunos elementos del codominio (tal vez ninguno, uno, algunos o todos). Entonces una relación es el conjunto de las parejas tales que el primer miembro es un elemento del dominio y el segundo es uno de los “amigos” que le asignamos. Para ilustrar esto primero pensemos en el conjunto {león, cocodrilo, tiburón} (dominio) y luego en el conjunto {cebra, búfalo, gacelas, focas, atún} (codominio). Si a “tiburón” lo “hacemos amigo” de “foca” y “cebra” podemos construir la relación {(tiburón, foca), (tiburón cebra)}, si en cambio a “cocodrilo” lo “hacemos amigo” de “atún” y de “gacela” mientras que a “león” de “atún” y a “tiburón” de “gacela” obtenemos la relación {(cocodrilo, atún,) (león, atún), (cocodrilo, gacela), (tiburón, gacela)}, ahora que si a “cocodrilo” lo “juntamos” con “atún y a “tiburón” con “búfalo” la relación que estamos describiendo es {(cocodrilo, atún), (tiburón, búfalo)}. Por supuesto también se pueden construir relaciones a partir de alguna regla de emparejamiento. En el ejemplo anterior, si decimos que un elemento del dominio es “amigo” de uno del codominio sólo si el primero es depredador del segundo (notemos la cruel ironía) estamos describiendo la relación {(león, cebra), (león, búfalo), (león, gacela), (cocodrilo, cebra), (cocodrilo, búfalo), (cocodrilo, gacela), (tiburón, foca), (tiburón, atún)}.
Ya por fin aterrizando todos estos conceptos (tan molestos como básicos), ¿cuál es la importancia del conjunto resultante (digámosle BASE) de unir al conjunto de todas las palabras del idioma español, al todos los nombres propios y al de todos los signos de puntuación (incluyendo la separación entre dos palabras)?, ¿a poco no cada vez que hablamos o escribimos (desde una palabra, pasando por una oración y hasta llegar al más elaborado discurso) tenemos que elegir uno por uno a elementos de BASE? Esto es que cada cosa que decimos o escribimos es una elección (ordenada y regularmente con repeticiones) de elementos de BASE. Pero ¿qué son esas elecciones sino “eneadas” de BASE o, en otras palabras, elementos del conjunto de las “eneadas” de BASE (al que apodaremos como LENGUAJE)?
Por otro lado, lo idiomas son en realidad formas que los seres humanos creamos para transmitirnos información. Así pues, las palabras oraciones y discursos tienen un solo fin, que es transmitir mensajes. Siguiendo esta línea, podemos pensar en el conjunto de los mensajes que alguien puede transmitirle a otro u otros, llamémosle IDEAS.
Ya en este punto, ¿qué tenemos? Pues un par de conjuntos, que son IDEAS y LENGUAJE, y un “juego” restante para entretenernos, que es el de relación. Sin embargo, para decir o escribir cualquier cosa, ¿no pensamos primero en qué es lo que queremos comunicar y después elegimos la forma en la que queremos hacerlo? Es decir, ¿acaso no elegimos antes que todo a un elemento de IDEAS y luego le asignamos uno de LENGUAJE? ¡Claro que lo hacemos! Siendo así y destacando que para cada mensaje hay varias maneras para expresarlo con palabras (y que cada una de esas maneras es un elemento de LENGUAJE) podemos concluir que el idioma español (así como todos los demás) es en realidad una relación con dominio IDEAS y codominio LENGUAJE. Algunos elementos de esta relación son (“dar a entender que tengo estoy cansado”, (¡,qué, ,ganas, ,de, ,aventarme, ,en, ,mi, ,cama,!)) o (“comunicar que disfruto algo”, (esto, ,es, ,maravilloso)).
Y pues sí, con sólo decir “Buenos días” ya estamos jugando con matemáticas. Lo bonito de todo esto (o al menos curioso) es que si bien nuestros padres o maestros no nos hablaron de conjuntos, “eneadas” o relaciones a la hora de enseñarnos a hablar o leer sí que tuvieron usar ideas intuitivas de esas estructuras algebraicas cuando nos instruían sobre lo importante del orden de las palabras, sobre los signos de puntuación o sobre la interpretación de oraciones simples. En otras palabras, ¡usaron álgebra para hacer pudiéramos comunicarnos!
En fin, ciertamente algo mágico de las matemáticas es que están por todas partes y ni siquiera las notamos…